Dérivée de la fonction carrée

Soit  `f`  la fonction carrée définie sur  `\mathbb(R)` .
Soit  `a`  un réel.
Pour tout réel  `h\ne0`  tel qu e  `a+h\in\mathbb(R)` , on a : 

`\tau_a(h)=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}`

soit  `\tau_a(h)=\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h`

Donc,  `lim_(h->0)\tau_a(h)=2a`  

Alors, la fonction  `f` est dérivable en tout réel  `a`  et a pour nombre dérivé  `f'(a)=2a` . La fonction carrée est donc dérivable sur `\mathbb(R)`  et sa fonction dérivée est la fonction, définie sur  `\mathbb(R)`  par :  \(f'(x)=2x\) .